Ring Automorphisms that fix 1. Announcing the arrival of Valued Associate #679: Cesar Manara Planned maintenance scheduled April 17/18, 2019 at 00:00UTC (8:00pm US/Eastern)Automorphisms of $mathbb Q(sqrt 2)$Automorphisms of $mathbbR^n$group of automorphisms of the ring $mathbbZtimesmathbbZ$Trying to understand a proof for the automorphisms of a polynomial ringAll automorphisms of splitting fieldsDetermining automorphisms of this extensionRing automorphisms of $mathbbQ[sqrt[3]5]$Automorphism of ring and isomorphism of quotient ringsThe automorphisms of the extension $mathbbQ(sqrt[4]2)/mathbbQ$.Extension theorem for field automorphismsAre all verbal automorphisms inner power automorphisms?

2001: A Space Odyssey's use of the song "Daisy Bell" (Bicycle Built for Two); life imitates art or vice-versa?

What causes the vertical darker bands in my photo?

Output the ŋarâþ crîþ alphabet song without using (m)any letters

Book where humans were engineered with genes from animal species to survive hostile planets

Why are there no cargo aircraft with "flying wing" design?

How to bypass password on Windows XP account?

What does the "x" in "x86" represent?

The logistics of corpse disposal

Generate an RGB colour grid

porting install scripts : can rpm replace apt?

Apollo command module space walk?

How come Sam didn't become Lord of Horn Hill?

Fundamental Solution of the Pell Equation

How to align text above triangle figure

How to find out what spells would be useless to a blind NPC spellcaster?

List of Python versions

What is the meaning of the new sigil in Game of Thrones Season 8 intro?

Why am I getting the error "non-boolean type specified in a context where a condition is expected" for this request?

String `!23` is replaced with `docker` in command line

Why do we bend a book to keep it straight?

Is it fair for a professor to grade us on the possession of past papers?

What's the purpose of writing one's academic biography in the third person?

What is the role of the transistor and diode in a soft start circuit?

What would be the ideal power source for a cybernetic eye?



Ring Automorphisms that fix 1.



Announcing the arrival of Valued Associate #679: Cesar Manara
Planned maintenance scheduled April 17/18, 2019 at 00:00UTC (8:00pm US/Eastern)Automorphisms of $mathbb Q(sqrt 2)$Automorphisms of $mathbbR^n$group of automorphisms of the ring $mathbbZtimesmathbbZ$Trying to understand a proof for the automorphisms of a polynomial ringAll automorphisms of splitting fieldsDetermining automorphisms of this extensionRing automorphisms of $mathbbQ[sqrt[3]5]$Automorphism of ring and isomorphism of quotient ringsThe automorphisms of the extension $mathbbQ(sqrt[4]2)/mathbbQ$.Extension theorem for field automorphismsAre all verbal automorphisms inner power automorphisms?










2












$begingroup$


This question is a follow - up to this question about Field Automorphisms of $mathbbQ[sqrt2]$.



Since $mathbbQ[sqrt2]$ is a vector space over $mathbbQ$ with basis $1, sqrt2$, I naively understand why it is the case that automorphisms $phi$ of $mathbbQ[sqrt2]$ are determined wholly by the image of $1$ and $sqrt2$. My problem is using this fact explicitly. For example, suppose I consider the automorphism $phi$ such that $phi(1) = 1$ and $phi(sqrt2) = sqrt2$, and I want to compute the value of $phi(frac32)$. I can do the following:



$$ phi(frac32) = phi(3) phi(frac12) = [phi(1) + phi(1) + phi(1)] phi(frac12) = 3phi(frac12).$$



I am unsure how to proceed from here. I would assume that it is true that $$phi(frac11 + 1) = fracphi(1)phi(1) + phi(1) = frac12,$$ but I don't know what property of ring isomorphisms would allow me to do this.










share|cite|improve this question









$endgroup$
















    2












    $begingroup$


    This question is a follow - up to this question about Field Automorphisms of $mathbbQ[sqrt2]$.



    Since $mathbbQ[sqrt2]$ is a vector space over $mathbbQ$ with basis $1, sqrt2$, I naively understand why it is the case that automorphisms $phi$ of $mathbbQ[sqrt2]$ are determined wholly by the image of $1$ and $sqrt2$. My problem is using this fact explicitly. For example, suppose I consider the automorphism $phi$ such that $phi(1) = 1$ and $phi(sqrt2) = sqrt2$, and I want to compute the value of $phi(frac32)$. I can do the following:



    $$ phi(frac32) = phi(3) phi(frac12) = [phi(1) + phi(1) + phi(1)] phi(frac12) = 3phi(frac12).$$



    I am unsure how to proceed from here. I would assume that it is true that $$phi(frac11 + 1) = fracphi(1)phi(1) + phi(1) = frac12,$$ but I don't know what property of ring isomorphisms would allow me to do this.










    share|cite|improve this question









    $endgroup$














      2












      2








      2





      $begingroup$


      This question is a follow - up to this question about Field Automorphisms of $mathbbQ[sqrt2]$.



      Since $mathbbQ[sqrt2]$ is a vector space over $mathbbQ$ with basis $1, sqrt2$, I naively understand why it is the case that automorphisms $phi$ of $mathbbQ[sqrt2]$ are determined wholly by the image of $1$ and $sqrt2$. My problem is using this fact explicitly. For example, suppose I consider the automorphism $phi$ such that $phi(1) = 1$ and $phi(sqrt2) = sqrt2$, and I want to compute the value of $phi(frac32)$. I can do the following:



      $$ phi(frac32) = phi(3) phi(frac12) = [phi(1) + phi(1) + phi(1)] phi(frac12) = 3phi(frac12).$$



      I am unsure how to proceed from here. I would assume that it is true that $$phi(frac11 + 1) = fracphi(1)phi(1) + phi(1) = frac12,$$ but I don't know what property of ring isomorphisms would allow me to do this.










      share|cite|improve this question









      $endgroup$




      This question is a follow - up to this question about Field Automorphisms of $mathbbQ[sqrt2]$.



      Since $mathbbQ[sqrt2]$ is a vector space over $mathbbQ$ with basis $1, sqrt2$, I naively understand why it is the case that automorphisms $phi$ of $mathbbQ[sqrt2]$ are determined wholly by the image of $1$ and $sqrt2$. My problem is using this fact explicitly. For example, suppose I consider the automorphism $phi$ such that $phi(1) = 1$ and $phi(sqrt2) = sqrt2$, and I want to compute the value of $phi(frac32)$. I can do the following:



      $$ phi(frac32) = phi(3) phi(frac12) = [phi(1) + phi(1) + phi(1)] phi(frac12) = 3phi(frac12).$$



      I am unsure how to proceed from here. I would assume that it is true that $$phi(frac11 + 1) = fracphi(1)phi(1) + phi(1) = frac12,$$ but I don't know what property of ring isomorphisms would allow me to do this.







      abstract-algebra ring-theory field-theory galois-theory






      share|cite|improve this question













      share|cite|improve this question











      share|cite|improve this question




      share|cite|improve this question










      asked 3 hours ago









      Solarflare0Solarflare0

      9813




      9813




















          2 Answers
          2






          active

          oldest

          votes


















          3












          $begingroup$

          $$
          2phi(frac32) = phi(3) = 3phi(1) = 3
          implies
          phi(frac32) =frac32
          $$

          Generalizing this argument gives $phi(q) = q$ for all $q in mathbb Q$.






          share|cite|improve this answer









          $endgroup$




















            1












            $begingroup$

            Every automorphism fixes $mathbbQ$. That is, if $K$ is any field of characteristic zero, then any automorphism of $K$ fixes the unique subfield of $K$ isomorphic to $mathbbQ$.



            For the proof, we assume WLOG that $mathbbQ subseteq K$. Then:



            • $phi$ fixes $0$ and $1$, by definition.


            • $phi$ fixes all positive integers, since $phi(n) = phi(1 + 1 + cdots + 1) = n phi(1) = n$.


            • $phi$ fixes all negative integers, since $phi(n) + phi(-n) = phi(n-n) = 0$, so $phi(-n) = -phi(n) = -n$.


            • $phi$ fixes all rational numbers, since $n cdot phileft(fracmnright) = phi(m) = m$, so $phileft(fracmnright) = fracmn$.



            More generally, when we consider automorphisms of a field extension $K / F$, we often restrict our attention only to automorphisms which fix the base field $F$. But when $F = mathbbQ$, since all automorphisms fix $mathbbQ$, such a restriction is unnecessary.






            share|cite|improve this answer









            $endgroup$













              Your Answer








              StackExchange.ready(function()
              var channelOptions =
              tags: "".split(" "),
              id: "69"
              ;
              initTagRenderer("".split(" "), "".split(" "), channelOptions);

              StackExchange.using("externalEditor", function()
              // Have to fire editor after snippets, if snippets enabled
              if (StackExchange.settings.snippets.snippetsEnabled)
              StackExchange.using("snippets", function()
              createEditor();
              );

              else
              createEditor();

              );

              function createEditor()
              StackExchange.prepareEditor(
              heartbeatType: 'answer',
              autoActivateHeartbeat: false,
              convertImagesToLinks: true,
              noModals: true,
              showLowRepImageUploadWarning: true,
              reputationToPostImages: 10,
              bindNavPrevention: true,
              postfix: "",
              imageUploader:
              brandingHtml: "Powered by u003ca class="icon-imgur-white" href="https://imgur.com/"u003eu003c/au003e",
              contentPolicyHtml: "User contributions licensed under u003ca href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/"u003ecc by-sa 3.0 with attribution requiredu003c/au003e u003ca href="https://stackoverflow.com/legal/content-policy"u003e(content policy)u003c/au003e",
              allowUrls: true
              ,
              noCode: true, onDemand: true,
              discardSelector: ".discard-answer"
              ,immediatelyShowMarkdownHelp:true
              );



              );













              draft saved

              draft discarded


















              StackExchange.ready(
              function ()
              StackExchange.openid.initPostLogin('.new-post-login', 'https%3a%2f%2fmath.stackexchange.com%2fquestions%2f3190546%2fring-automorphisms-that-fix-1%23new-answer', 'question_page');

              );

              Post as a guest















              Required, but never shown

























              2 Answers
              2






              active

              oldest

              votes








              2 Answers
              2






              active

              oldest

              votes









              active

              oldest

              votes






              active

              oldest

              votes









              3












              $begingroup$

              $$
              2phi(frac32) = phi(3) = 3phi(1) = 3
              implies
              phi(frac32) =frac32
              $$

              Generalizing this argument gives $phi(q) = q$ for all $q in mathbb Q$.






              share|cite|improve this answer









              $endgroup$

















                3












                $begingroup$

                $$
                2phi(frac32) = phi(3) = 3phi(1) = 3
                implies
                phi(frac32) =frac32
                $$

                Generalizing this argument gives $phi(q) = q$ for all $q in mathbb Q$.






                share|cite|improve this answer









                $endgroup$















                  3












                  3








                  3





                  $begingroup$

                  $$
                  2phi(frac32) = phi(3) = 3phi(1) = 3
                  implies
                  phi(frac32) =frac32
                  $$

                  Generalizing this argument gives $phi(q) = q$ for all $q in mathbb Q$.






                  share|cite|improve this answer









                  $endgroup$



                  $$
                  2phi(frac32) = phi(3) = 3phi(1) = 3
                  implies
                  phi(frac32) =frac32
                  $$

                  Generalizing this argument gives $phi(q) = q$ for all $q in mathbb Q$.







                  share|cite|improve this answer












                  share|cite|improve this answer



                  share|cite|improve this answer










                  answered 3 hours ago









                  lhflhf

                  168k11172405




                  168k11172405





















                      1












                      $begingroup$

                      Every automorphism fixes $mathbbQ$. That is, if $K$ is any field of characteristic zero, then any automorphism of $K$ fixes the unique subfield of $K$ isomorphic to $mathbbQ$.



                      For the proof, we assume WLOG that $mathbbQ subseteq K$. Then:



                      • $phi$ fixes $0$ and $1$, by definition.


                      • $phi$ fixes all positive integers, since $phi(n) = phi(1 + 1 + cdots + 1) = n phi(1) = n$.


                      • $phi$ fixes all negative integers, since $phi(n) + phi(-n) = phi(n-n) = 0$, so $phi(-n) = -phi(n) = -n$.


                      • $phi$ fixes all rational numbers, since $n cdot phileft(fracmnright) = phi(m) = m$, so $phileft(fracmnright) = fracmn$.



                      More generally, when we consider automorphisms of a field extension $K / F$, we often restrict our attention only to automorphisms which fix the base field $F$. But when $F = mathbbQ$, since all automorphisms fix $mathbbQ$, such a restriction is unnecessary.






                      share|cite|improve this answer









                      $endgroup$

















                        1












                        $begingroup$

                        Every automorphism fixes $mathbbQ$. That is, if $K$ is any field of characteristic zero, then any automorphism of $K$ fixes the unique subfield of $K$ isomorphic to $mathbbQ$.



                        For the proof, we assume WLOG that $mathbbQ subseteq K$. Then:



                        • $phi$ fixes $0$ and $1$, by definition.


                        • $phi$ fixes all positive integers, since $phi(n) = phi(1 + 1 + cdots + 1) = n phi(1) = n$.


                        • $phi$ fixes all negative integers, since $phi(n) + phi(-n) = phi(n-n) = 0$, so $phi(-n) = -phi(n) = -n$.


                        • $phi$ fixes all rational numbers, since $n cdot phileft(fracmnright) = phi(m) = m$, so $phileft(fracmnright) = fracmn$.



                        More generally, when we consider automorphisms of a field extension $K / F$, we often restrict our attention only to automorphisms which fix the base field $F$. But when $F = mathbbQ$, since all automorphisms fix $mathbbQ$, such a restriction is unnecessary.






                        share|cite|improve this answer









                        $endgroup$















                          1












                          1








                          1





                          $begingroup$

                          Every automorphism fixes $mathbbQ$. That is, if $K$ is any field of characteristic zero, then any automorphism of $K$ fixes the unique subfield of $K$ isomorphic to $mathbbQ$.



                          For the proof, we assume WLOG that $mathbbQ subseteq K$. Then:



                          • $phi$ fixes $0$ and $1$, by definition.


                          • $phi$ fixes all positive integers, since $phi(n) = phi(1 + 1 + cdots + 1) = n phi(1) = n$.


                          • $phi$ fixes all negative integers, since $phi(n) + phi(-n) = phi(n-n) = 0$, so $phi(-n) = -phi(n) = -n$.


                          • $phi$ fixes all rational numbers, since $n cdot phileft(fracmnright) = phi(m) = m$, so $phileft(fracmnright) = fracmn$.



                          More generally, when we consider automorphisms of a field extension $K / F$, we often restrict our attention only to automorphisms which fix the base field $F$. But when $F = mathbbQ$, since all automorphisms fix $mathbbQ$, such a restriction is unnecessary.






                          share|cite|improve this answer









                          $endgroup$



                          Every automorphism fixes $mathbbQ$. That is, if $K$ is any field of characteristic zero, then any automorphism of $K$ fixes the unique subfield of $K$ isomorphic to $mathbbQ$.



                          For the proof, we assume WLOG that $mathbbQ subseteq K$. Then:



                          • $phi$ fixes $0$ and $1$, by definition.


                          • $phi$ fixes all positive integers, since $phi(n) = phi(1 + 1 + cdots + 1) = n phi(1) = n$.


                          • $phi$ fixes all negative integers, since $phi(n) + phi(-n) = phi(n-n) = 0$, so $phi(-n) = -phi(n) = -n$.


                          • $phi$ fixes all rational numbers, since $n cdot phileft(fracmnright) = phi(m) = m$, so $phileft(fracmnright) = fracmn$.



                          More generally, when we consider automorphisms of a field extension $K / F$, we often restrict our attention only to automorphisms which fix the base field $F$. But when $F = mathbbQ$, since all automorphisms fix $mathbbQ$, such a restriction is unnecessary.







                          share|cite|improve this answer












                          share|cite|improve this answer



                          share|cite|improve this answer










                          answered 2 hours ago









                          60056005

                          37.1k752127




                          37.1k752127



























                              draft saved

                              draft discarded
















































                              Thanks for contributing an answer to Mathematics Stack Exchange!


                              • Please be sure to answer the question. Provide details and share your research!

                              But avoid


                              • Asking for help, clarification, or responding to other answers.

                              • Making statements based on opinion; back them up with references or personal experience.

                              Use MathJax to format equations. MathJax reference.


                              To learn more, see our tips on writing great answers.




                              draft saved


                              draft discarded














                              StackExchange.ready(
                              function ()
                              StackExchange.openid.initPostLogin('.new-post-login', 'https%3a%2f%2fmath.stackexchange.com%2fquestions%2f3190546%2fring-automorphisms-that-fix-1%23new-answer', 'question_page');

                              );

                              Post as a guest















                              Required, but never shown





















































                              Required, but never shown














                              Required, but never shown












                              Required, but never shown







                              Required, but never shown

































                              Required, but never shown














                              Required, but never shown












                              Required, but never shown







                              Required, but never shown







                              Popular posts from this blog

                              Францішак Багушэвіч Змест Сям'я | Біяграфія | Творчасць | Мова Багушэвіча | Ацэнкі дзейнасці | Цікавыя факты | Спадчына | Выбраная бібліяграфія | Ушанаванне памяці | У філатэліі | Зноскі | Літаратура | Спасылкі | НавігацыяЛяхоўскі У. Рупіўся дзеля Бога і людзей: Жыццёвы шлях Лявона Вітан-Дубейкаўскага // Вольскі і Памідораў з песняй пра немца Адвакат, паэт, народны заступнік Ашмянскі веснікВ Минске появится площадь Богушевича и улица Сырокомли, Белорусская деловая газета, 19 июля 2001 г.Айцец беларускай нацыянальнай ідэі паўстаў у бронзе Сяргей Аляксандравіч Адашкевіч (1918, Мінск). 80-я гады. Бюст «Францішак Багушэвіч».Яўген Мікалаевіч Ціхановіч. «Партрэт Францішка Багушэвіча»Мікола Мікалаевіч Купава. «Партрэт зачынальніка новай беларускай літаратуры Францішка Багушэвіча»Уладзімір Іванавіч Мелехаў. На помніку «Змагарам за родную мову» Барэльеф «Францішак Багушэвіч»Памяць пра Багушэвіча на Віленшчыне Страчаная сталіца. Беларускія шыльды на вуліцах Вільні«Krynica». Ideologia i przywódcy białoruskiego katolicyzmuФранцішак БагушэвічТворы на knihi.comТворы Францішка Багушэвіча на bellib.byСодаль Уладзімір. Францішак Багушэвіч на Лідчыне;Луцкевіч Антон. Жыцьцё і творчасьць Фр. Багушэвіча ў успамінах ягоных сучасьнікаў // Запісы Беларускага Навуковага таварыства. Вільня, 1938. Сшытак 1. С. 16-34.Большая российская1188761710000 0000 5537 633Xn9209310021619551927869394п

                              Беларусь Змест Назва Гісторыя Геаграфія Сімволіка Дзяржаўны лад Палітычныя партыі Міжнароднае становішча і знешняя палітыка Адміністрацыйны падзел Насельніцтва Эканоміка Культура і грамадства Сацыяльная сфера Узброеныя сілы Заўвагі Літаратура Спасылкі НавігацыяHGЯOiТоп-2011 г. (па версіі ej.by)Топ-2013 г. (па версіі ej.by)Топ-2016 г. (па версіі ej.by)Топ-2017 г. (па версіі ej.by)Нацыянальны статыстычны камітэт Рэспублікі БеларусьШчыльнасць насельніцтва па краінахhttp://naviny.by/rubrics/society/2011/09/16/ic_articles_116_175144/А. Калечыц, У. Ксяндзоў. Спробы засялення краю неандэртальскім чалавекам.І ў Менску былі мамантыА. Калечыц, У. Ксяндзоў. Старажытны каменны век (палеаліт). Першапачатковае засяленне тэрыторыіГ. Штыхаў. Балты і славяне ў VI—VIII стст.М. Клімаў. Полацкае княства ў IX—XI стст.Г. Штыхаў, В. Ляўко. Палітычная гісторыя Полацкай зямліГ. Штыхаў. Дзяржаўны лад у землях-княствахГ. Штыхаў. Дзяржаўны лад у землях-княствахБеларускія землі ў складзе Вялікага Княства ЛітоўскагаЛюблінская унія 1569 г."The Early Stages of Independence"Zapomniane prawdy25 гадоў таму было аб'яўлена, што Язэп Пілсудскі — беларус (фота)Наша вадаДакументы ЧАЭС: Забруджванне тэрыторыі Беларусі « ЧАЭС Зона адчужэнняСведения о политических партиях, зарегистрированных в Республике Беларусь // Министерство юстиции Республики БеларусьСтатыстычны бюлетэнь „Полаўзроставая структура насельніцтва Рэспублікі Беларусь на 1 студзеня 2012 года і сярэднегадовая колькасць насельніцтва за 2011 год“Индекс человеческого развития Беларуси — не было бы нижеБеларусь занимает первое место в СНГ по индексу развития с учетом гендерного факцёраНацыянальны статыстычны камітэт Рэспублікі БеларусьКанстытуцыя РБ. Артыкул 17Трансфармацыйныя задачы БеларусіВыйсце з крызісу — далейшае рэфармаванне Беларускі рубель — сусветны лідар па дэвальвацыяхПра змену коштаў у кастрычніку 2011 г.Бядней за беларусаў у СНД толькі таджыкіСярэдні заробак у верасні дасягнуў 2,26 мільёна рублёўЭканомікаГаласуем за ТОП-100 беларускай прозыСучасныя беларускія мастакіАрхитектура Беларуси BELARUS.BYА. Каханоўскі. Культура Беларусі ўсярэдзіне XVII—XVIII ст.Анталогія беларускай народнай песні, гуказапісы спеваўБеларускія Музычныя IнструментыБеларускі рок, які мы страцілі. Топ-10 гуртоў«Мясцовы час» — нязгаслая легенда беларускай рок-музыкіСЯРГЕЙ БУДКІН. МЫ НЯ ЗНАЕМ СВАЁЙ МУЗЫКІМ. А. Каладзінскі. НАРОДНЫ ТЭАТРМагнацкія культурныя цэнтрыПублічная дыскусія «Беларуская новая пьеса: без беларускай мовы ці беларуская?»Беларускія драматургі па-ранейшаму лепш ставяцца за мяжой, чым на радзіме«Працэс незалежнага кіно пайшоў, і дзяржаву турбуе яго непадкантрольнасць»Беларускія філосафы ў пошуках прасторыВсе идём в библиотекуАрхіваванаАб Нацыянальнай праграме даследавання і выкарыстання касмічнай прасторы ў мірных мэтах на 2008—2012 гадыУ космас — разам.У суседнім з Барысаўскім раёне пабудуюць Камандна-вымяральны пунктСвяты і абрады беларусаў«Мірныя бульбашы з малой краіны» — 5 непраўдзівых стэрэатыпаў пра БеларусьМ. Раманюк. Беларускае народнае адзеннеУ Беларусі скарачаецца колькасць злачынстваўЛукашэнка незадаволены мінскімі ўладамі Крадзяжы складаюць у Мінску каля 70% злачынстваў Узровень злачыннасці ў Мінскай вобласці — адзін з самых высокіх у краіне Генпракуратура аналізуе стан са злачыннасцю ў Беларусі па каэфіцыенце злачыннасці У Беларусі стабілізавалася крымінагеннае становішча, лічыць генпракурорЗамежнікі сталі здзяйсняць у Беларусі больш злачынстваўМУС Беларусі турбуе рост рэцыдыўнай злачыннасціЯ з ЖЭСа. Дазволіце вас абкрасці! Рэйтынг усіх службаў і падраздзяленняў ГУУС Мінгарвыканкама вырасАб КДБ РБГісторыя Аператыўна-аналітычнага цэнтра РБГісторыя ДКФРТаможняagentura.ruБеларусьBelarus.by — Афіцыйны сайт Рэспублікі БеларусьСайт урада БеларусіRadzima.org — Збор архітэктурных помнікаў, гісторыя Беларусі«Глобус Беларуси»Гербы и флаги БеларусиАсаблівасці каменнага веку на БеларусіА. Калечыц, У. Ксяндзоў. Старажытны каменны век (палеаліт). Першапачатковае засяленне тэрыторыіУ. Ксяндзоў. Сярэдні каменны век (мезаліт). Засяленне краю плямёнамі паляўнічых, рыбакоў і збіральнікаўА. Калечыц, М. Чарняўскі. Плямёны на тэрыторыі Беларусі ў новым каменным веку (неаліце)А. Калечыц, У. Ксяндзоў, М. Чарняўскі. Гаспадарчыя заняткі ў каменным векуЭ. Зайкоўскі. Духоўная культура ў каменным векуАсаблівасці бронзавага веку на БеларусіФарміраванне супольнасцей ранняга перыяду бронзавага векуФотографии БеларусиРоля беларускіх зямель ва ўтварэнні і ўмацаванні ВКЛВ. Фадзеева. З гісторыі развіцця беларускай народнай вышыўкіDMOZGran catalanaБольшая российскаяBritannica (анлайн)Швейцарскі гістарычны15325917611952699xDA123282154079143-90000 0001 2171 2080n9112870100577502ge128882171858027501086026362074122714179пппппп

                              Герб Смалявічаў Апісанне | Спасылкі | НавігацыяГерб города Смолевичип